Цилиндрические поверхности

Пусть: - Кривая $\gamma$ - **направляющая** - Прямая $l$ - **образующая** Тогда, если через каждую точку кривой провести прямую $\parallel l$, получим поверхность, которую будем называть **цилиндрической** В качестве направляющей достаточно рассматривать плоские кривые, так как всегда можем пересечь поверхность плоскостью и найти плоскую направляющую.

Пусть направляющая кривая задана системой: $$\begin{cases} f(x, y, z) = 0 \\ g(x, y, z) = 0 \end{cases}$$ где $f$ и $g$ - линейно независимы. Пусть $M(x, y, z)$ лежит на поверхности, $\vec{t} \begin{pmatrix}p\\ q\\ s\end{pmatrix}$ - вектор образующей. Проведём через $M$ образующую и на пересечении с направляющей получим точку $M'$. Радиус-вектор точки $M'$: $\vec{r}(M') = \vec{r}(M) + \alpha \vec{t}$. Подставляя в уравнения направляющей, получаем уравнение цилиндрической поверхности: $$\begin{cases} f(x + \alpha p, y + \alpha q, z + \alpha s) = 0 \\ g(x + \alpha p, y + \alpha q, z + \alpha s) = 0 \end{cases}$$

Поверхность является цилиндрической $\iff$ в некоторой системе координат её уравнение имеет вид $H(x, y) = 0$

$\Large\implies$ Пусть поверхность цилиндрична с образующими $\parallel \vec{t} \neq 0$. Ортогонально преобразуем координаты так, чтобы $\vec{t}$ стал коллинеарен оси $Oz$. Так как в новой системе координат вдоль образующих (оси $Oz$) значения функции постоянны вне зависимости от $z$, уравнение поверхности принимает вид $H(x', y') = 0$ $\Large\impliedby$ Если уравнение имеет вид $H(x, y) = 0$, то поверхность образована параллельным переносом направляюще вдоль $Oz$, а значит поверхность цилиндрическая. $\square$

### Эллиптический цилиндр $$\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1$$ [Эллиптический в Desmos](https://www.desmos.com/3d/w0epgdj9s0) ### Гиперболический цилиндр $$\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1$$ [Гиперболический в Desmos](https://www.desmos.com/3d/sc56rcfdbs) ### Параболический цилиндр $$y^{2} = 2px$$[Параболический в Desmos](https://www.desmos.com/3d/vtowxlk1zn)